实数的构造-beat365进不去-beat365进不去-365bet官网开户-365bet备用网

在数学里，实数系统可以透过不同方式被定义。其中，基本方法通过一些公理将实数系统定为一个完备的有序数域。通过集合论公理，可以证明基本方法中给定的公理是绝对的，即是说如果有两个模型都符合那些公理，那么这两个模型必然是同构的。这样的模型须是从更基础的对象构建而成的，而多数的模型的建立都是借助于有理数域。

基本方法[编辑]

一个实数系统由一个集合

{\displaystyle R}

，

{\displaystyle R}

当中的两个不同元素 0 和 1 ，

{\displaystyle R}

上的两种二元运算

{\displaystyle +,\times }

（分别叫做加法与乘法），以及

{\displaystyle R}

上的一个二元关系

≤

{\displaystyle \leq }

（即序关系）构成。

而且这个模型符合以下性质：

(

)

{\displaystyle (R,+,\times )}

是一个域。即

∀

∈

(

)

(

)

(

)

(

)

{\displaystyle \forall x,y,z\in R,x+(y+z)=(x+y)+z,x\times (y\times z)=(x\times y)\times z}

（加法与乘法的结合性）

∀

∈

{\displaystyle \forall x,y\in R,x+y=y+x,x\times y=y\times x}

（加法与乘法的交换性）

∀

∈

(

)

(

)

(

)

{\displaystyle \forall x,y,z\in R,x\times (y+z)=(x\times y)+(x\times z)}

（乘法对加法有分配律）

∀

∈

{\displaystyle \forall x\in R,x+0=x}

（存在加法单位元）

∀

∈

{\displaystyle \forall x\in R,x\times 1=x}

（存在乘法单位元）

∀

∈

∃

−

∈

(

−

)

{\displaystyle \forall x\in R,\exists -x\in R,x+(-x)=0}

（存在加法逆元）

∀

∈

≠

⇒

∃

−

∈

−

{\displaystyle \forall x\in R,x\neq 0\Rightarrow \exists x^{-1}\in R,x\times x^{-1}=1}

（存在乘法逆元）

(

≤

)

{\displaystyle (R,\leq )}

是一个全序集。即

∀

∈

≤

{\displaystyle \forall x\in R,x\leq x}

(自反性)

∀

∈

{\displaystyle \forall x,y\in R,}

若

≤

{\displaystyle x\leq y}

且

≤

{\displaystyle y\leq x}

，则有

{\displaystyle x=y}

（反对称性）

∀

∈

{\displaystyle \forall x,y,z\in R,}

若

≤

{\displaystyle x\leq y}

且,

≤

{\displaystyle y\leq z}

，则有

≤

{\displaystyle x\leq z}

（传递性）

∀

∈

≤

{\displaystyle \forall x,y\in R,x\leq y}

或

≤

{\displaystyle y\leq x}

（完全关系性）

{\displaystyle R}

上的两个运算

{\displaystyle +,\times }

均与序关系

≤

{\displaystyle \leq }

相容。即

∀

∈

{\displaystyle \forall x,y\in R}

,若

≤

{\displaystyle x\leq y,}

则

≤

{\displaystyle x+z\leq y+z}

（加法下保持次序）

∀

∈

{\displaystyle \forall x,y\in R}

,若

≤

{\displaystyle 0\leq x}

且

≤

{\displaystyle 0\leq y}

，则

≤

{\displaystyle 0\leq x\times y}

（乘法下保持次序）

序关系

≤

{\displaystyle \leq }

符合戴德金完备性: 若

{\displaystyle R}

的一个非空子集

{\displaystyle A}

有上界，那么

{\displaystyle A}

也有上确界。换言之，

若

{\displaystyle A}

是

{\displaystyle R}

的一个非空子集，而且

{\displaystyle A}

有上界，那么

{\displaystyle A}

有一上确界

{\displaystyle u}

，使得对

{\displaystyle A}

的任何上界

{\displaystyle v}

，均有

≤

{\displaystyle u\leq v.}

有理数域

{\displaystyle \mathbf {Q} }

符合前三条公理，也就是说

{\displaystyle \mathbf {Q} }

是一个有序域（同时

{\displaystyle \mathbf {Q} }

还满足阿基米德性，所以

{\displaystyle \mathbf {Q} }

是一个阿基米德有序域），但

{\displaystyle \mathbf {Q} }

不符合最后一条公理。所以戴德金完备性这一点在实数的定义中是不可或缺的。戴德金完备性蕴含了阿基米德性质。若有两个模型符合公理1-4的话，它们必然是同构的，所以在同构意义下只有一个戴德金完备的阿基米德有序域。

附注：当我们说符合以上公理的两个模型：

(

≤

)

{\displaystyle (R,0_{R},1_{R},+_{R},\times _{R},\leq _{R})}

和

(

≤

)

{\displaystyle (S,0_{S},1_{S},+_{S},\times _{S},\leq _{S})}

是同构时，即是指存在一个保持运算和序的双射。

确切地说存在

→

{\displaystyle f:R\rightarrow S}

满足

{\displaystyle f}

是一个双射

(

)

{\displaystyle f(0_{R})=0_{S}}

及

(

)

{\displaystyle f(1_{R})=1_{S}}

∀

∈

(

)

(

)

(

)

{\displaystyle \forall x,y\in R,f(x+_{R}y)=f(x)+_{S}f(y)}

及

(

)

(

)

(

)

{\displaystyle f(x\times _{R}y)=f(x)\times _{S}f(y).}

∀

∈

≤

{\displaystyle \forall x,y\in R,x\leq _{R}y}

当且仅当

(

)

≤

(

)

{\displaystyle f(x)\leq _{S}f(y).}

塔斯基实数公理[编辑]

另外一种公理化实数的方法由阿尔弗雷德·塔斯基提供，只需要如下所示的8条公理以及4个基本概念：一个称之为实数集的集合（记作

{\displaystyle \mathbb {R} }

）、一个称之为序的二元关系（记作

{\displaystyle <}

）、一个称之为加法的二元运算（记作

{\displaystyle +}

）和常数

{\displaystyle 1}

。

序相关公理

(

)

{\displaystyle (\mathbb {R} ,<)}

：

公理一：如果

{\displaystyle x

成立，那么

{\displaystyle y

不成立，即“

{\displaystyle <}

”为非对称关系。

公理二：如果

{\displaystyle x

成立，那么存在

{\displaystyle y}

使得

{\displaystyle x

与

{\displaystyle y

同时成立，即“

{\displaystyle <}

”在实数集稠密。

公理三：“

{\displaystyle <}

”满足戴德金完备性，即对所有

⊂

{\displaystyle X,Y\subset \mathbb {R} }

，如果对所有

∈

{\displaystyle x\in X}

以及

∈

{\displaystyle y\in Y}

均满足

{\displaystyle x

，那么存在

{\displaystyle z}

使得对所有

∈

{\displaystyle x\in X}

以及

∈

{\displaystyle y\in Y}

并且有

≠

{\displaystyle z\neq x}

以及

≠

{\displaystyle z\neq y}

，总有

{\displaystyle x

与

{\displaystyle z

成立。

加法相关公理

(

)

{\displaystyle (\mathbb {R} ,<,+)}

：

公理四：

(

)

(

)

{\displaystyle x+(y+z)=(x+z)+y}

。

公理五：对所有

{\displaystyle x}

与

{\displaystyle y}

，总存在

{\displaystyle z}

满足

{\displaystyle x+z=y}

。

公理六：如果

{\displaystyle x+y

成立，那么

{\displaystyle x

或

{\displaystyle y

成立。

常数

{\displaystyle 1}

相关公理

(

)

{\displaystyle (\mathbb {R} ,<,+,1)}

公理七：

∈

{\displaystyle 1\in \mathbb {R} }

；

公理八：

{\displaystyle 1<1+1}

。

模型的具体构造[编辑]

柯西序列[编辑]

首先我们需要一个定义。设

(

)

{\displaystyle (x_{n})}

是一个有理数列，如果对于任何正有理数

{\displaystyle r>0}

，存在一个正整数

{\displaystyle N}

使得对于所有的整数

{\displaystyle m,n>N}

，都有

−

{\displaystyle |x_{m}-x_{n}|

，则称

(

)

{\displaystyle (x_{n})}

为有理数的柯西序列。

有理数集

{\displaystyle \mathbf {Q} }

配备上度量

−

{\displaystyle |x-y|}

（即一般的绝对值）后便是一个度量空间。而透过一个叫作完备化的过程，可以往度量空间加进新点，从而使得度量空间中的所有柯西序列都收敛到某点。

以下说明实数集

{\displaystyle \mathbf {R} }

可定义为

{\displaystyle \mathbf {Q} }

对于度量

−

{\displaystyle |x-y|}

的完备化。（关于

{\displaystyle \mathbf {Q} }

在其他度量下的完备化，参见p进数。）

记

{\displaystyle R}

为由有理数的柯西序列组成的集合。定义两个柯西序列的加法和乘法为：

(

)

(

)

(

)

{\displaystyle (x_{n})+(y_{n})=(x_{n}+y_{n})}

(

)

(

)

(

)

{\displaystyle (x_{n})\times (y_{n})=(x_{n}\times y_{n}).}

运算得到的序列依然会是柯西序列[1]。

称两个柯西序列是等价的，如果它们之间的差收敛到0。这样便在

{\displaystyle R}

上定义了一个等价关系。以

[

(

)

]

{\displaystyle [(x_{n})]}

表示包含序列

(

)

{\displaystyle (x_{n})}

的等价类。

设

{\displaystyle \mathbf {R} }

为包含所有等价类的集合，然后也在

{\displaystyle \mathbf {R} }

上定义加法和乘法：

[

(

)

]

[

(

)

]

[

(

)

(

)

]

{\displaystyle [(x_{n})]+[(y_{n})]=[(x_{n})+(y_{n})]}

[

(

)

]

[

(

)

]

[

(

)

(

)

]

{\displaystyle [(x_{n})]\times [(y_{n})]=[(x_{n})\times (y_{n})]}

同样地，这两个运算是良好定义的。

可以证明

(

)

{\displaystyle (\mathbf {R} ,+,\times )}

是一个域。我们可以把

{\displaystyle \mathbf {Q} }

嵌入到

{\displaystyle \mathbf {R} }

——只要把有理数

{\displaystyle r}

对应于

(

)

{\displaystyle (r)}

便可。

实数大小的比较也是透过在柯西序列上的定义而达成的：

称一个实数是正的，即

[

(

)

]

[

(

)

]

{\displaystyle [(x_{n})]>[(0)]}

，当且仅当存在自然数

{\displaystyle N}

和正有理数

{\displaystyle r}

，使得对一切

{\displaystyle n>N}

有

{\displaystyle x_{n}>r}

。称

[

(

)

]

[

(

)

]

{\displaystyle [(x_{n})]>[(y_{n})],}

当且仅当

[

(

)

]

−

[

(

)

]

[

(

)

]

{\displaystyle [(x_{n})]-[(y_{n})]>[(0)]}

。

较难推导的是

≤

{\displaystyle \leq }

的完备性，具体可以参考[1]。

常用的小数记法可以自然地理解为柯西序列，比如说，

3.1415926...

{\displaystyle \pi =3.1415926...}

的记法意味著

{\displaystyle \pi }

是柯西序列

(

3.1

3.14

3.141

3.1415

)

{\displaystyle (3,3.1,3.14,3.141,3.1415,...)}

的等价类。等式

[

(

0.999...

)

]

[

(

)

]

{\displaystyle [(0.999...)]=[(1)]}

则断定了序列

(

0.9

0.99

0.999

)

{\displaystyle (0,0.9,0.99,0.999,...)}

和

(

)

{\displaystyle (1,1,1,1,...)}

是等价的，即它们之间的差收敛到

{\displaystyle 0}

。

把

{\displaystyle \mathbf {R} }

作为

{\displaystyle \mathbf {Q} }

的完备化有一个好处，那就是这种方法并不限于此例；对于其他度量空间也是适用的。

戴德金分割[编辑]

主条目：戴德金分割

实数可定义为有理数集上的戴德金分割，即是有理数集的一个划分

(

)

{\displaystyle (A,B)\,}

，其中

{\displaystyle A,B}

都非空，而且A的每个元素都小于B的任意元素。为方便起见，不妨把划分

(

)

{\displaystyle (A,B)\,}

以其下组

{\displaystyle A}

来代表，因为给定了

{\displaystyle A}

就唯一确定了

{\displaystyle B}

。所以直观上，实数

{\displaystyle r}

能被

{

∈

}

{\displaystyle \{x\in {\textbf {Q}}:x

所代表。

具体而言，一个实数

{\displaystyle r}

是

{\displaystyle {\textbf {Q}}}

的符合以下条件的一个子集：[2]

{\displaystyle r}

是非空集合

≠

{\displaystyle r\neq {\textbf {Q}}}

{\displaystyle r}

是向下封闭的，即：

∀

∈

→

∈

{\displaystyle \forall x,y\in {\textbf {Q}}x

{\displaystyle r}

没有最大元。也就是说，不存在

∈

{\displaystyle x\in r}

，使得对任何

∈

{\displaystyle y\in r}

有

≤

{\displaystyle y\leq x}

记

{\displaystyle {\textbf {R}}}

为所有实数的集合，也就是说它包含了所有

{\displaystyle {\textbf {Q}}}

上的戴德金分割。然后在

{\displaystyle {\textbf {R}}}

上定义这样一个全序：

≤

⇔

⊆

{\displaystyle x\leq y\Leftrightarrow x\subseteq y}

有理数可以嵌入到

{\displaystyle {\textbf {R}}}

里，透过把

{\displaystyle q}

对应于集合

{

∈

}

{\displaystyle \{x\in {\textbf {Q}}:x

。[2] 因为有理数在有理数集内是稠密的，所以这个集合没有最大元，并满足上述的各条件。

加法：

{

∈

∧

∈

}

{\displaystyle A+B:=\{a+b:a\in A\land b\in B\}}

[2]

减法：

−

{

−

∈

∧

∈

(

∖

)

}

{\displaystyle A-B:=\{a-b:a\in A\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}}

，其中

∖

{\displaystyle {\textbf {Q}}\setminus B}

代表

{\displaystyle B}

在

{\displaystyle {\textbf {Q}}}

里的补集，即

{

∈

∧

∉

}

{\displaystyle \{x:x\in {\textbf {Q}}\land x\notin B\}}

负号是减法的特例：

−

{

−

∧

∈

(

∖

)

}

{\displaystyle -B:=\{a-b:a<0\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}}

乘法的定义较不直观：[2]

若

≥

{\displaystyle A,B\geq 0}

，那么

{

≥

∧

∈

∧

≥

∧

∈

}

∪

{

∈

}

{\displaystyle A\times B:=\{a\times b:a\geq 0\land a\in A\land b\geq 0\land b\in B\}\cup \{x\in \mathrm {Q} :x<0\}}

若

{\displaystyle A\,}

和

{\displaystyle B\,}

中有一个是负的，可以透过

−

(

−

)

−

(

−

)

(

−

)

{\displaystyle A\times B=-(A\times -B)=-(-A\times B)=(-A\times -B)\,}

这定义式，把

{\displaystyle A}

{\displaystyle B}

转化为正数的情况，再采用上面的定义来计算。

类似地定义除法为：

若

≥

{\displaystyle A\geq 0,\ B>0}

，则

{

∈

∧

∈

(

∖

)

}

{\displaystyle A/B:=\{a/b:a\in A\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}}

若

{\displaystyle A\,}

和

{\displaystyle B\,}

中有一个是负的，可以借助

−

(

−

)

−

(

−

)

−

{\displaystyle A/B=-(A/{-B})=-(-A/B)=-A/{-B}\,}

的定义式，把

{\displaystyle A}

换成非负数，以及把

{\displaystyle B\,}

换成正数，再采用上面的定义来计算。

上确界：如果

{\displaystyle {\textbf {R}}}

的非空子集

{\displaystyle S}

有上界的话，那么可以证明

⋃

{\displaystyle \bigcup S}

便是其上确界。[2]

以下示范如何以戴德金分割代表根号2：设

{

∈

∨

}

{\displaystyle A=\{x\in {\textbf {Q}}:x<0\lor x^{2}<2\}}

。[3]

首先，对于任何自乘小于2的正有理数

{\displaystyle x\,}

，都存在一个大于x的有理数

{\displaystyle y\,}

，而且有

{\displaystyle y\times y<2\,}

。选择

{\displaystyle y={\frac {2x+2}{x+2}}\,}

便可。所以我们证明了

{\displaystyle A}

是一个实数。

要证明

≤

{\displaystyle A\times A\leq 2}

成立，只需指出如果

{\displaystyle r\,}

是小于2的有理数，那么存在正的

∈

{\displaystyle x\in A}

，且

{\displaystyle r

。

这种方法的好处是每个实数都对应于唯一的分割。

小数记法[编辑]

西蒙·斯蒂文[4] 首先提出了以小数来代表一切数（即现今的实数）的想法。具体地，可以将无限小数展开式作为实数的定义，然后规定像0.9999... 和1.0000... 这样的两种展开式是等价的，再形式化地定义好四则运算和大小次序。这种方法跟柯西序列和戴德金分割这两种构造是等价的，而且它还给出了明确的收敛模（英语：Modulus of convergence）。这种方法不限于十进制，其他的进位制也是适用的。

用小数来构造的好处是，这跟我们对于实数的基本印象相符。一个证明“完全有序域的所有模型都同构”的标准做法便是，说明任意模型都同构于这个模型，因为我们可以系统地给每个元素建立小数展开式。

超实数[编辑]

主条目：超实数

首先，透过超滤子从有理数构造出超有理数域*Q 。此处的超有理数之定义为两个超整数的比。考虑由*Q里所有有界（或者说有限）元素所组成的环B。 B 有著唯一的极大理想 I，即无穷小量。商环 B/I 给出了实数域

{\displaystyle R}

。注意B 并不是*Q的一个内在集合。

此外，这种构造在自然数集上使用了非主超滤子，而其存在性是依赖于选择公理的。

这个极大理想 I保持了*Q本身的次序。所以形成的域是一有序域。完备性的证明跟柯西序列一节中的论证类同。

超现实数[编辑]

主条目：超现实数

每个有序域都可以嵌入到超现实数系统内。而实数组成了一个符合阿基米德性质的极大子域（意味著没有实数是无穷大量）。这种嵌入方式并不是唯一的，尽管有标准的一种方式。

透过整数集（欧多克索斯实数）[编辑]

一个较不为人知的构造方法只需用到整数的加法群。[5][6][7] 这种方法已由IsarMathLib project正式验证了。[8] Shenitzer[9]和Arthan将此构造称为欧多克索斯实数。

设

→

{\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }

为一函数，若然

{

(

)

−

(

)

−

(

)

∈

}

{\displaystyle \{f(n+m)-f(m)-f(n):n,m\in \mathbb {Z} \}}

是有限集，则称f为殆同态。称两个殆同态

{\displaystyle f,g}

是几乎相等的，如果集合

{

(

)

−

(

)

∈

}

{\displaystyle \{f(n)-g(n):n\in \mathbb {Z} \}}

是有限集。如此便在殆同态上定义了一等价关系。实数被定义为各个等价类，可简单记为[f]。实数的加法，对应于殆同态的加法运算；实数的乘法，则对应于殆同态的复合运算。最后，称

≤

[

]

{\displaystyle 0\leq [f]}

，若

{\displaystyle f}

是有界的，或者

{\displaystyle f}

在

{\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}

上无限多次取正值。这样便在实数上建立了全序。

参见[编辑]

数学结构主义#实分析中的例子

参考资料[编辑]

^ 1.0 1.1 The Real Numbers (PDF). [2014-06-30]. （原始内容存档 (PDF)于2016-03-04）.

^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 Pugh, Charles Chapman. Real Mathematical Analysis. New York: Springer. 2002: 11–15 [2014-06-28]. ISBN 0-387-95297-7. （原始内容存档于2013-11-14）.

Hersh, Reuben. What is Mathematics, Really?. New York: Oxford University Press US. 1997: 274. ISBN 0-19-513087-1.

^ Karin Usadi Katz and Mikhail G. Katz (2011) Stevin Numbers and Reality. Foundations of Science. doi:10.1007/s10699-011-9228-9 Online First. [1][永久失效链接]

^ R.D. Arthan. The Eudoxus Real Numbers. arXiv:math/0405454 .

^ Norbert A'Campo. A natural construction for the real numbers. arXiv:math/0301015 .

^ Ross Street. Update on the efficient reals (PDF). September 2003 [2010-10-23]. （原始内容存档 (PDF)于2011-05-14）.

^ IsarMathLib. [2014-06-28]. （原始内容存档于2020-10-01）.

^ Shenitzer, A. (1987) A topics course in mathematics. The Mathematical Intelligencer 9, no. 3, 44--52.

查论编实数

0.999…

绝对差量（英语：Absolute difference）

康托尔集

康托尔–戴德金公理（英语：Cantor–Dedekind axiom）

实数完备性

实数的构造

实数的一阶理论可决定性（英语：Decidability of first-order theories of the real numbers）

扩展实数线

格雷果里数（英语：Gregory number）

无理数

正规数

有理数

有理ζ级数（英语：Rational zeta series）

实坐标空间（英语：Real coordinate space）

实数线

塔尔斯基的实数公理化（英语：Tarski's axiomatization of the reals）

维塔利集合

实数的构造

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